気体の比熱には定積比熱C_vと定圧比熱C_pの2種類が存在するが、両者の関係式をマイヤーの関係と呼び、次式、

C_p=C_v+R

で表される。ここで、R；気体定数である。

関数 f(x) が x＝a の近くで n 回微分可能であれば x＝a の近傍においては、

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+^.....+f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n!+^.....

と展開でき、テーラー展開と呼ばれる。テーラー展開において、a=0の場合は、

f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x²/2!+^.....+f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ/n!+^.....

と展開され、マクローリン展開と呼ばれる。

空気は粘性流体なので、乱流によって平均運動量が地表面に向かって輸送され、地表面に対する空気の相対速度（風速）Vは地表面に近づくほど小さく、地表面では０となる。水平運動量フラックスτの鉛直方向の収束（1/ρ)∂τ/∂zを流体要素の摩擦力Fと呼ぶ。この摩擦力Fの存在のため、大気境界層の上で成り立っている気圧傾度力Pとコリオリの力Cの間の地衡風平衡は大気境界層の中では期待できず、非地衡風V-Gに対するコリオリの力2×Ω×（V-G)と摩擦力Fが釣合い

2×Ω×（V-G)=（1/ρ)∂τ/∂z

の関係が成り立つ。ここで、Ω；地球の回転ベクトル、G；地衡風である。具体的な気圧傾度力P、コリオリの力C、および摩擦力Fの関係は、大気境界層内の高度によって異なる（下図参照）。



（a)地表面では気圧傾度力Pと摩擦力Fが釣合い風速Vが０なので、コリオリの力Cは存在しない。即ち、摩擦力Fは気圧傾度力Pと逆向きで大きさが等しい。（b）接地層内では、地衡風Gの進行方向の左側に向かって比較的弱い風Vが吹く。この風Vによるコリオリの力Cが風の進行方向右90°の方向に生じる。この風Vと地衡風Gとの差のベクトル（非地衡風ベクトル）V-Gの左90°の方向に摩擦力Fが生じ、摩擦力Fとコリオリの力Cの合力が気圧傾度力Pと釣合う。（c）大気境界層中層では、地衡風Gの進行方向の左側に向かって比較的強い風Vが吹く。この風によるコリオリの力Cが風の進行方向右90°の方向に生じる。この風Vと地衡風Gとの差のベクトル（非地衡風ベクトル）V-Gの左90°の方向に摩擦力Fが生じ、摩擦力Fと気圧傾度力Pの合力がコリオリの力Cと釣合う。（d）大気境界層上端で吹く風は地衡風そのものなので、非地衡風ベクトルV-Gが存在しないため、摩擦力Fも存在しない。

行列とも呼ぶ。ℓ×m個の実数（複素数または関数でもよいが、多くの場合は実数）

a_ij    (i=1,2,...,ℓ ； j=1,2,...,m)

を

のように方形に配列したものを、ℓ×m型マトリックスまたはℓ行ｍ列のマトリックス(ℓ×m matrix)と呼び、記号Aで表す。a_ijをマトリックスAのi行j列の要素(element)または元と呼び、要素の横の並びを行(row)、縦の並びを列(column)と呼ぶ。マトリックスAは、その要素を用いて、[a_ij]と表されることもある。

前面の両側で地衡風が吹いている地衡風前面の傾斜αを与える式。前線に沿ってｙ軸を置き、正のｘ領域を気温T1、密度ρ1の寒気、負のｘ領域を気温T2、密度ρ2暖気が覆っているとする。前面の両側の気圧は等しいので前面に沿った気圧の全微分も等しく、

dp=(∂p/∂x)₁dx+(∂p/∂y)₁dy+(∂p/∂z)₁dz=(∂p/∂x)₂dx+(∂p/∂y)₂dy+(∂p/∂z)₂dz

が成り立つ。これを変形すると、前面（ｙ軸）に沿っては、(∂p/∂ｙ)₁=(∂p/∂ｙ)₂なので、

tanα=dz/dｘ=-{(∂p/∂ｘ)₁-(∂p/∂ｘ)₂}/{(∂p/∂z)₁-(∂p/∂z)₂}

を得る。状態方程式より、

(∂p/∂z)₁=-ρ₁ｇ、　(∂p/∂z)₂=-ρ₂ｇ

地衡風の式より、

(∂p/∂ｘ)₁=-fρ₁u₁、　(∂p/∂ｘ)₂=-fρ₂u₂

なので、上式は、

tanα=-f（ρ₁u₁-ρ₂u₂）/{g(ρ₁-ρ₂)}

となる。この式はマルグレスの式と呼ばれている。再度状態方程式を代入して密度を消去すると、マルグレスの式は、

tanα=f（T₂u₁-T₁u₂）/{g(T₂-T₁)}

とも表現できる。マルグレスの式から、前面は温度差が無いと存在せず、傾斜した前面が存在できるのは回転場の中にある（コリオリの力が作用する）からであることが理解できる。もし回転場の中になければ、低温な流体が下、高温な流体が上になって水平な境界面が形成されることが分かる。